Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir können jetzt mal beginnen. Nach der letzten Vorlesung haben mich noch einige angesprochen

und gefragt, ob sie die Mitternachtsformel anwenden dürfen. Das dürfen sie. Das bedeutet

nur jetzt etwas anderes in diesem Rahmen der komplexen Zahlen, als es vorher bedeutete.

Also quadratische Gleichungen haben ja im einfachsten Fall die Form z² ist gleich w.

Und dieses w kann ja jetzt irgendeine komplexe Zahl sein. Und in der letzten Vorlesung hatten

wir einen Satz, der genau gesagt hat, wie man davon die Lösungen ausrechnet. Man schreibt

das w um in Polarkoordinaten, dann kriegt man ja ein Argument von w, einen Winkel und

wenn man die Wurzel zieht, halbiert man das und dann addiert man nochmal pi dazu und auf

diese Weise bekommt man zwei Lösungen. Zwei Lösungen in der komplexen Ebene und diese

beiden Lösungen liegen auf einem regelmäßigen Zweieck. Und was heißt das? Die liegen sich

einfach gegenüber. Also das eine ist das Negative von dem anderen. Ein Fall zeigt

dann in die Richtung und das andere ist einfach der Minus-Pfeil dazu. Also wenn z0² gleich

w ist, dann ist ja auch –z0² gleich w. Und so sieht dieses regelmäßige Zweieck aus.

Warum sage ich regelmäßiges Zweieck? Der Satz war ja viel allgemeiner. Der betrachtete ja Gleichungen

der Form z hoch n gleich w mit dem Exponenten n. Und wenn n eine natürliche Zahl ist, hat man hier

im Allgemeinen eben ein regelmäßiges n-Eck. Bei uns ist jetzt n gleich 2. Also zwei Lösungen,

das ist dann z0 und –z0, liegen sich gegenüber. Das kennen Sie jetzt eigentlich auch schon aus dem

reellen Fall. Wenn man da zum Beispiel die Gleichung z² gleich 1 löst mit w gleich 1,

dann haben Sie zwei Lösungen, nämlich die plus 1 und die minus 1. Und im reellen Fall definiert

man ja die Wurzelfunktion und die definiert man als die positive Wurzel, also plus 1. Im komplexen

Fall lässt sich das nicht verallgemeinern, weil man dann immer zwei hat, die irgendwie liegen und

dann weiß man gar nicht, welchen Zweig man da nehmen soll. Also da muss man darauf achten,

die Wurzelfunktion hat dann nicht mehr die Bedeutung einer Funktion in diesem komplexen Fall,

sondern gemeint müssen damit dann sein diese beiden Lösungen. Aber in der Mitternachtsformel

ist das kein Problem. Also in der berühmten Formel, da haben wir ja den Term mit plus minus Wurzel.

Also in welcher Form Sie diese Formel auch kennen, da steht immer irgendwo eine Wurzel,

und davor steht plus minus. Und das entspricht genau diesen beiden Lösungen. Also bei der Wurzel,

da können Sie dann eine von den beiden nehmen und das plus minus liefert dann die gegenüberliegende

zweite Lösung. Und in dem Sinne können Sie die Formel verwenden. Also der plus minus Term

entspricht diesen beiden Lösungen. Und das ist in gewisser Weise ein Missbrauch der Notation,

weil die Wurzel ja eigentlich eine Funktion sein soll. Deshalb machen wir in den Übungen die

Lösungen auch einfach ausführlich mit quadratischer Ergänzung, dann ist das alles sauber. Aber wenn

Sie zu Hause mal irgendwo eine Wurzel ausrechnen wollen, einer quadratischen Gleichung, dann können

Sie das ruhig mit dieser Formel machen. Das ist kein Problem. Gibt es dazu noch Fragen?

Wir hatten ja in der letzten Vorlesung auch schon ein neues Kapitel angefangen. Da ging es um den

dreidimensionalen Raum R hoch drei. Der bestand aus Vektoren, die entsprachen geometrisch Pfeilen

im dreidimensionalen Raum. Und algebraisch hatten die drei Komponenten, das waren bei uns Spalten

Vektoren mit drei Komponenten und jede Komponente ist dabei eine reelle Zahl. Und wir haben schon

gesehen, was man mit diesen Vektoren machen kann. Man kann sie wieder addieren und auch

Skalar multiplizieren, das heißt mit reellen Zahlen multiplizieren. Das entspricht so einer

Stauchung und Verlängerung dieser Vektoren, ohne dass sich die Richtung dabei ändert. Außerdem

gibt es da auch ein Skalarprodukt. Da nimmt man zwei Vektoren her und macht so ein Kringel

dazwischen und dann multipliziert man jeweils die entsprechenden Komponenten und addiert das

Ganze auf. Dann kommt ja eine reelle Zahl heraus und das ist das Skalarprodukt. Und wir hatten schon

begonnen auch das Vektorprodukt zu definieren. Da nimmt man auch zwei Vektoren her, aber macht

daraus einen neuen Vektor. Deshalb nennt man das Vektorprodukt. Das schreibt man mit einem Kreuz,

deshalb heißt es auch Kreuzprodukt. Und da hatten wir schon mit der Definition begonnen. Wenn die

Vektoren V und W parallel sind, also sich nur durch so ein Vielfaches, ein Faktor Lambda

unterscheiden, dann ist V Kreuz W gleich Null. Also erster Fall, das war wenn V gleich Lambda mal W